• Referate Anatomie
• Referate Astronomie
• Referate Automatica
• Referate Biologie
• Referate Chimie
• Referate Diverse
• Referate Drept
• Referate Economie
• Referate Engleza
• Referate Filosofie
• Referate Fizica
• Referate Franceza
• Referate Geografie
• Referate Germana
• Referate Informatica
• Referate Istorie
• Referate Marketing
• Matematica
• Referate Medicina
• Referate Muzica
• Referate Psihologie
• Referate Religie
• Referate Romana

Link sponsorizat :

Multimi, functii, numere reale

?
A) 3 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
are n=8 elemente. Cunoscand relatia:
am desemnat numarul de elemente al unei multimi finite X)
. Raspunsul corect este deci D).

OBSERVATIE. Relatia (1) se deduce usor tinand cont de definitia operatiilor de reuniune si intersectie. In manualele de clasa a IX-a (editiile 1980-1998) este propusa ca exercitiu.

Cate elemente are multimea:
A) 200 B) 199 C) 996 D) 201 E) 1997

Solutie. Aici intram pe taramul rezolvarii ecuatiilor diofantice liniare in doua variabile. Aceste ecuatii (care nu se studiaza in scoala) apar totusi in exercitii din unele culegeri de larga circulatie (Nita/Nastasescu sau Pirsan/Lazanu de exemplu). Forma unei astfel de ecuatii este:

(2)
Evident ca se cer solutiile intregi ale acestei ecuatii.
, avem doua posibilitati:
(deoarece membrul stang este divizibil cu d, iar membrul drept nu este).

a ecuatiei (aceasta este de regula usor de gasit; exista insa si cazuri rebele, in care determinarea ei devine o problema dificila). Solutia generala a ecuatiei (2) este data de:

(3)
verifica ecuatia (2), avem:
(*)
Inlocuind in ecuatia (2) solutia generala (3), rezulta:

Mai multe despre acest tip de ecuatii puteti afla din lucrarea "Compendiu de matematica" de A. E. Beju si I. Beju, aparuta la Ed. Stiintifica in 1983 (de fapt, si subsemnatul tot de acolo s-a informat).

. Conform celor afirmate mai inainte, solutia generala este:
Observam insa ca trebuie sa cautam solutii naturale, adica intregi si pozitive. Se pun deci conditiile:

Exista 200 de valori intregi ale lui t in intervalul [0; 199]. Prin urmare, multimea are 200 de elemente. Raspunsul corect este A).

Cate elemente are multimea:
?
999 B) 1000 C) 1002 D) 989 E) 998
) si mai precis cate astfel de perechi distincte exista.
. Dupa inmultiri in diagonala, reduceri si grupari de termeni cu care nu va mai plictisesc, rezulta:
Aceasta a doua egalitate ne ofera perechile de care avem nevoie. Adunam si scadem o unitate, pentru a o transforma:
De aici rezulta:
are o valoare infoerioara lui 1.
este (1, 2). Multimea data are deci 1000-1=999 de elemente. Raspunsul corect este A).
?

Solutie. Cea mai "la indemana" idee pare rezolvarea ecuatiei si calculul lui x. Numai ca ecuatia nu admite solutii reale si calculul cu numere complexe este extrem de incomod.

Ideea ingenioasa este sa impartim fractia initiala cu x, scriind egalitatea data sub forma:
.
si avem deci:
In acelasi spirit, expresia E se scrie sub forma:
(4)
la puterea a treia:
(
. Raspunsul corect este C).
Cu care din numerele urmatoare trebuie sa amplificam fractia:
pentru rationalizarea numitorului ?
E) nici unul din raspunsurile A)-D) nu este corect.

Solutie. Sigur ca o varianta este sa inmultim numitorul fractiei pe rand cu fiecare din numerele propuse, oprindu-ne daca rezultatul este rational. In caz ca nici unul din cele patru produse nu este rational, raspunsul corect este E). Aceasta metoda de forta bruta contravine insa spiritului logic al matematicii.

numarul cautat. Efectuam produsul:
Acest numar este rational daca si numai daca:
Cum nici unul dintre numerele A)-D) nu satisface aceste conditii, raspunsul corect este E).
Cate elemente are multimea:
doua B) patru C) unul D) niciunul E) trei
(
trebuie sa se gaseasca printre divizorii lui 17. Posibilitatile sunt:
trebuie sa fie pozitiv.
Nici aceasta nu este o solutie.
. Raspunsul corect este A).
Se dau numerele:
(dupa virgula sunt scrise toate numerele naturale).
Care dintre acestea sunt rationale ?

Solutie. Este clar ca a este rational. La fel de clar este ca numerele c si d sunt irationale. Raman in discutie doar b si e. In cazul lui b, daca efectuam calculele, rezulta:

care este evident rational.

Numarul e are o reprezentare zecimala infinita, care insa nu este periodica. Prin urmare, nu este rational. Raspunsul corect este deci E).

:
definite pe domeniile maxime. Care dintre ele sunt injective ?
toate B) doar f3 C) f2 si f3 D) f2, f3 si f4 E) niciuna
Solutie. Expresia functiei f1 se rescrie sub forma:
. Prin urmare, functia f1 nu este injectiva.
Pentru f2, scriem:
rezulta asadar:
. Functia f2 este injectiva.
Pentru f3, trebuie analizate trei situatii:
(
astfel incat
. Prin urmare, si functia f3 este injectiva.
(
. Insa,
. Rezulta ca si f4 este injectiva. Raspunsul corect este deci D).
?
o infinitate B) doua C) niciuna D) una E) patru
sa fie strict descrescatoare pe R, trebuie ca:
) sa fie strict descrescatoare;
limita la stanga a functiei in -2 sa fie superioara limitei la dreapta.

la intervalele date sunt functii de gradul I, deci monotonia lor este stabilita de semnul coeficientului lui x. Se pun deci conditiile:

a devenit vida. Raspunsul corect este C).
?
doua B) niciuna C) una D) mai mult de doua
E) nici unul din raspunsurile A)-D) nu este corect
. Avem:
este element neutru pentru operatia de compunere a functiilor, rezulta mai departe foarte simplu ca:
.
...
...

Nota: Textul de mai sus reprezinta doar un extras din referat. Pentru versiunea completa a documentului apasa butonul Download.